科學的歸宿 ──
哥德爾不完備定理的啟示
希爾伯特第2數學問題
19世紀末、20世紀初的數學家們普遍持有一強烈信念：數學應該是完全公理化的邏輯系統，其結構是先定義一批公理和基本邏輯規則，然後依據這些公理和邏輯規則推演出數學所有的命題定理。這一時期，無窮小分析中的概念和邏輯缺陷愈加明顯，數學基礎亟待完善，這又進一步強化了數學公理化的信念和追求。
1900年數學界的領袖人物希爾伯特（David Hilbert，1862~1943）在第二屆國際數學家大會上作題為《數學問題》的歷史性演講，提出了23個他認為最重要的數學問題。時至今日這23個問題仍然指引著數學研究方向，對數學進程產生深遠的影響。 23個問題的第2個問題是：建立一個全面統一堅實的數學公理系統，由此構建整體數學大廈。滿懷樂觀情緒的數學家響應號召，為構建這個元數學基礎嘔心嚦血之際，1930年，華爾茲園舞曲故鄉維也納24歲的數理邏輯學家哥德爾（Kirt Godel，1906~1978）提出並證明瞭如下定理（1931年正式發表）：
「一個數學公理系統，只要包含自然數的初等算術公理，則不能判定這個系統的完備性。」
該定理石破天驚，讓希爾伯特構造整體數學大廈基礎的宏偉藍圖頃刻間灰飛煙滅。思想界隨之起舞，科學、哲學和人工智能等領域激起深入廣泛的思考和熾烈持久的討論。縱觀歷史，從未有過一𠆤數學定理的提出和證明象哥德爾定理，在思想界激起如此波瀾壯闊的海哮。
思想界的奠基性貢獻
由於其劃時代的貢獻，哥德爾被譽為自亞里士多德2500年以來最偉大的思想家之一。1951年2月，哥德爾臥病在床，氫彈之父奧本海默（Robert Oppenheimer，1904~1967）告訴臨床醫生：「你的病人是亞里士多德以來最大的邏輯學家。」1978年，聲名顯嚇的物理學家惠勒（John Wheeler，1911~2010）則聲稱：「如果僅稱他為亞里士多德以來最偉大的邏輯學家，是在貶低他」。
科學界公認，哥德爾在數理邏輯中的地位相當於愛因斯坦在物理學家中的地位。愛因斯坦（Albert Einstein，1879~1955）從1942年到1955年去世，在普林斯頓與哥德爾交往密切，兩人相互仰慕，常在一起散步談心。愛因斯坦認為哥德爾的工作對數學，與他本人對物理學的工作，有同等的重要性。
哥德爾不完備定理的影響遠遠超出數理邏輯範圍。它不僅使數學、邏輯學發生革命性的變化，引發了許多富有挑戰性的問題，同時涉及哲學、語言學和計算機科學，以及近代理論物理。霍金（Stephen Hawking，1942~2018）在題為《哥德爾與M理論》的報告中，認為不可能建立一個描述宇宙的大統一理論，其判斷正是基於哥德爾不完備定理。美國《時代》雜誌曾評選出20世紀100個最偉大的人物，在數學家行列中排在第一位的就是哥德爾。
對於哥德爾不完備定理的意義，世人認知不一，解釋亦不盡相同。然而有一共識：哥德爾不完備定理是20世紀思想界奠基性的貢獻。哥德爾不完備定理可以比肩愛因斯坦的相對論，普朗克（Max Planck，1858~1947）的量子論，海森堡（W. Heisenberg，1901~1976）的測不准原理，以及DNA的雙螺旋結構。
哥德爾不完備定理的簡單陳述
哥德爾定理的完全嚴格證明基於現代集合論、數論以及他首創的哥德爾數和運算法，其證明涉及巧妙的構思和冗長的邏輯演譯。證明過程中哥德爾明確揭示」命題為真」和」命題可證」是兩個不同層次的概念。
數學定理證明基於一組不證自明的公理系統和邏輯法則，人們曾理所當然地期望數學公理系統滿足以下條件：
《不存在一個普適的公理系統，它既能夠證明所有數學定理，又能證偽任何謬誤。》 哥德爾第二不完備定理進一步指出：
《任何蘊涵初等算術公理的自洽形式系統，不能證明自身的自洽性。》 哥德爾第一和第二不完備定理的聯合陳述是：
《任何蘊涵初等算術公理的自洽形式系統是不完備的，也不能在其中證明自身的自洽性。》 由於蕰涵了初等（皮雅諾）算術公理，遞帰定義（數學歸納法）進入形式系統。
哥德爾的知音和密友、著名旅美邏輯學家王浩指出，下面關於哥德爾不完備定理的幾個陳述相互等價：
「本公司沒一個人講的話是真的。」
則該僱員的「宣稱」究竟是「真」亦或為「偽」，就成為一不可判定的陳述。用概率論的語言，該僱員陣述為「真」和「偽」的幾率分別是50％和50％，易見不完備性可以導致概率性的結論。 量子力學的哥木哈根解釋及其海森堡測不准原理把自身，即「觀察者」引進了量子測量系統。外部的觀察者和內部被觀察的量子系統合而為一，觀察者既是觀眾，又是演員，量子測量遂成為在包含了測量者自身的客體中進行測量，自我幹擾的測量必導致量子系統判定的不完備和不可避免的概率描述。用平白的語言表述測不准原理當為：在一被測量行為自身乾擾的系統中進行測量必然導致測量的不確定性的描述，即幾率性描述。容易看到，量子測量的不確定性，對應著哥德爾不完備定理的陳述。這讓我們相信，兩者之間有微妙的聯絡。這也很可能就是為什麼愛因斯坦一生中強烈質疑量子力學描述的完備性，認為哥本哈根學派的量子詮釋是綏靖哲學。 什麼是數學？此問不易回答。各派有各的定義，不同時期有不同的觀點。有人說，數學就是一連串的證明的總和。哥德爾在闡述不不完備定理證明時深刻地指出：「從形式的角度看，證明它除了是一個公式（帶有某些特指的性質）的有限系列之外，什麼都不是。而從元數學的目的來看，證明則天然地就是非物質的，這些天然的非物質，是那些作為基本符號對象的東西，我們用自然數來代表這些非物質的符號。因此，一個公式就是自然數的一個有限系列，一個特指的證明模式就是一個自然數有限系列的有限系列。元數學的概念和命題因此也就成為有關自然數或者它們的系列的概念和命題，並且，由此就至少在系統PM本身的符號中，它們是部分可表達的。」這裡人們可以領悟到數論是數學之王和萬物皆數的思想。也有人調侃：所謂數學，就是一群喜歡抽象的人把他們思考的對象和問題稱之為數學。不管關於數學的定義如何五花八門，哥德爾定理問世後，有一點明確無疑，數學絕對不等於邏輯。時至今日，數學的內涵仍在擴張，新的觀念和想法源源湧現，各個分枝領域相互滲透。創新的理念總是超越邏輯，不論是作為前提的公理，還是在特定前提下的邏輯推理，均有先驗的理念蘊含其中。數學靈動活潑，其活力源於直覺、聯想、綜合、類比和各種奇思妙想。敏銳的洞察力和新穎的構思才是數學活的靈魂。邏輯則是單調、僵硬的，是演譯過程必遵循的一組規則。 數學是科學的先導和拐杖，近代科學發端於對自然描述的數學化，嚴格科學，特別是物理學，其判定總是數學化的表述。數學基礎的不完備必導致科學結論的不完備。科學結論的不完備性就其實質而言具有特別重大的科學意義。結論的不完備性意味著否定性結論存在。否定性的判定具有突破性。科學史上不乏其例，譬如五次以上代數方程無一般根式解的發現導致了群論的創立，從而對稱性得到全面系統的研究；歐幾裡得第五公設不可證明直接導致了非歐幾何和黎曼幾何的創建。從非歐幾何的觀點來看，歐幾裡得幾何只不過是屬於空間曲率等於零的幾何。物理上，普朗克（Max Planck ）對能量連續性的否定，導致了量子論的產生和對光電效應的詮釋。物體運動速度不可能超越光速，導致了相對論的創立。海森堡測不准原理的確立，成為量子力學屹立不倒的定海神針。 用質樸的語言，哥德爾不完備定理在某種意義是說，若局限在自洽系統內部，就不可能完全認識該系統。為了直觀理解，可以想像，你若僅趟佯於森林之中，永遠不可能認識森林全貌；你若蝸居大山而不出走，你不會認識山的局限。只有走出了森林的邊界，才能看到森林的整體結構，只有翻過大山，才能俯瞰大山全貌。你走出了小森林，又會進入更大的森林；你翻過此山，又會進入更大群山。在較大較新的環境裡，你又陷入相似的困境。「山外青山樓外樓」，於是你一次又一次地陷入「不識廬山真面目，只緣身在此山中」的迷茫境界。這裡的教益是，禁錮於有限時空中的人不可能判定自我認知的完備性，猶如人不可能抓著自已的頭髮離開地球。 哥德爾不完備性定斷言：在含有算術公理的系統中，完備性和自洽性不可兼得。與此相應，在量子力學中海森堡測不准原理斷言，量子位置的測量精確度和動量的測量精確度是相互排斥的。完備性究竟蘊藏在何處？合理的答案是，理論系統的完備性可能存在於拓展了的深層次理論中。在拓展了的深層結構中，原本的系統可以被完備化。但是，這個深層次系統又會處於新的不完備的困境中，需要更高的智慧在更深層次上把理論結構拓展，再次完備化。這樣完備化的過程原則上是無止盡的，從而構成一完備化的可數無窮序列。這個無窮序列的收斂極限處，必然是超乎數學、物理範疇，超越塵世的超級智慧 一 這是上帝的存在。這裡的推論並不突然，也不新鮮，早在哥德爾不完備定理髮表之初，大數學家兼理論物理學家外爾（Hermann Weyl，1885~1955）就深切感嘆：「上帝是存在的，因為數學無疑是相容的；魔鬼也是存在的，因為我們不能證明相容性。」王浩在其回憶錄中則清晣提到，哥德爾本人宣稱，若接受他列出的五條公理，上帝存在的推論嚴密無瑕。於是我們又一次聽到了一個熟悉的聲音：科學的盡頭是神學。 1930年，希爾伯特以數學界掌舵人的身份，就他提出的23個問題，特別是整體公理構建計劃向世界豪邁宣布：「任何一個數學命題都是可以證明的」，「我們必須做到，我們必將做到」。後一句名言後來作為希爾伯特的墓誌銘廣傳於世。有趣的是，就在1930當年，初出茅廬的哥德爾在一個小範圍內報告了他的不完備定理，希爾伯特的高徒馮．諾意曼（John von Neumann，1903~1957）在場，問了哥德爾幾個問題。希爾伯特從馮．諾意曼得知哥德爾工作後，惱火且沮喪，但尚抱一線希望。哥德爾發表了他的第二不完備定理後，希爾伯特認識到他的宏偉計劃已徹底毀滅了。1943年希爾伯特臨終前的話是，「數學完了」。 數學當然沒有完，數學之樹常青。近一個世紀來數學依然蓬勃成長，只是不再致力於構建不可能構建的終結大廈。值得一提是，希爾伯雄心勃勃的計劃尚包括對物理學全部定律的公理化，這就是希爾伯特第六問題。這是更加不可能實現的願望。物理界一直對此持冷淡態度。二十世紀美國最有影響力的理論物理學家諾貝爾物理學獎獲得者費曼（Richard Feynman）坦言，在物理學中追求所謂嚴格既是不必要，也不現實的。顯然，根據哥德爾不完備定理，希爾伯特第六問題更是一個不可實現的美好夢想。 哥德爾不完備定理最深遠的啟示乃是，在科學的探索中，我們所在的這個世界可以被逐漸認識，然而這個世界永遠不可能完全徹底地被認識，終結真理可望而不可及。在創世主和茫茫宇宙面前，有限的世人當心存敬畏，感悟渺小。 寫於Solon，11/04/2022稿
11/14/2022改 【後記】 壬寅中秋，茶餘飯後，偶及哥德爾不完備定理。蕭瑾興趣盎然，赴寒舍認真詢問、詳做文字記錄，並令擇文簡介。 文革十年，本人下放窮村僻壤近八載。煤油燈下為求心靈平靜，自學實變函數論，需補充集合、點集拓撲，數理邏輯僅及皮毛。在蕭瑾催促下近日整理粗淺認識，草成拙文。 蕭瑾自幼受母親影響，酷愛數學，靈動敏捷，當年保送至北京大學。此文權當還她文債。 謹識 11/14/2022 ➤ 首頁｜目錄
哥德爾不完備定理的啟示
| 蒙恩見證 3 | 目錄 |
- 系統公理是獨立的，即任何一公理不能從其它公理導出
- 系統公理互是自洽（相容）的，即公理互不衝突。
- 系統公理是完備的，即係統中每個命題或其否定命題中至少有一方在其中可被證明的。
《不存在一個普適的公理系統，它既能夠證明所有數學定理，又能證偽任何謬誤。》 哥德爾第二不完備定理進一步指出：
《任何蘊涵初等算術公理的自洽形式系統，不能證明自身的自洽性。》 哥德爾第一和第二不完備定理的聯合陳述是：
《任何蘊涵初等算術公理的自洽形式系統是不完備的，也不能在其中證明自身的自洽性。》 由於蕰涵了初等（皮雅諾）算術公理，遞帰定義（數學歸納法）進入形式系統。
哥德爾的知音和密友、著名旅美邏輯學家王浩指出，下面關於哥德爾不完備定理的幾個陳述相互等價：
- 數學是不可窮盡的。
- 每個自洽的形式數學理論一定包含不可判定的命題。
- 沒有證明機器（或程序）能夠只證明全部真的數學命題。
- 不存在既自洽又完備的形式數學公理系統。
- 數學算法不可窮盡的。
「本公司沒一個人講的話是真的。」
則該僱員的「宣稱」究竟是「真」亦或為「偽」，就成為一不可判定的陳述。用概率論的語言，該僱員陣述為「真」和「偽」的幾率分別是50％和50％，易見不完備性可以導致概率性的結論。 量子力學的哥木哈根解釋及其海森堡測不准原理把自身，即「觀察者」引進了量子測量系統。外部的觀察者和內部被觀察的量子系統合而為一，觀察者既是觀眾，又是演員，量子測量遂成為在包含了測量者自身的客體中進行測量，自我幹擾的測量必導致量子系統判定的不完備和不可避免的概率描述。用平白的語言表述測不准原理當為：在一被測量行為自身乾擾的系統中進行測量必然導致測量的不確定性的描述，即幾率性描述。容易看到，量子測量的不確定性，對應著哥德爾不完備定理的陳述。這讓我們相信，兩者之間有微妙的聯絡。這也很可能就是為什麼愛因斯坦一生中強烈質疑量子力學描述的完備性，認為哥本哈根學派的量子詮釋是綏靖哲學。 什麼是數學？此問不易回答。各派有各的定義，不同時期有不同的觀點。有人說，數學就是一連串的證明的總和。哥德爾在闡述不不完備定理證明時深刻地指出：「從形式的角度看，證明它除了是一個公式（帶有某些特指的性質）的有限系列之外，什麼都不是。而從元數學的目的來看，證明則天然地就是非物質的，這些天然的非物質，是那些作為基本符號對象的東西，我們用自然數來代表這些非物質的符號。因此，一個公式就是自然數的一個有限系列，一個特指的證明模式就是一個自然數有限系列的有限系列。元數學的概念和命題因此也就成為有關自然數或者它們的系列的概念和命題，並且，由此就至少在系統PM本身的符號中，它們是部分可表達的。」這裡人們可以領悟到數論是數學之王和萬物皆數的思想。也有人調侃：所謂數學，就是一群喜歡抽象的人把他們思考的對象和問題稱之為數學。不管關於數學的定義如何五花八門，哥德爾定理問世後，有一點明確無疑，數學絕對不等於邏輯。時至今日，數學的內涵仍在擴張，新的觀念和想法源源湧現，各個分枝領域相互滲透。創新的理念總是超越邏輯，不論是作為前提的公理，還是在特定前提下的邏輯推理，均有先驗的理念蘊含其中。數學靈動活潑，其活力源於直覺、聯想、綜合、類比和各種奇思妙想。敏銳的洞察力和新穎的構思才是數學活的靈魂。邏輯則是單調、僵硬的，是演譯過程必遵循的一組規則。 數學是科學的先導和拐杖，近代科學發端於對自然描述的數學化，嚴格科學，特別是物理學，其判定總是數學化的表述。數學基礎的不完備必導致科學結論的不完備。科學結論的不完備性就其實質而言具有特別重大的科學意義。結論的不完備性意味著否定性結論存在。否定性的判定具有突破性。科學史上不乏其例，譬如五次以上代數方程無一般根式解的發現導致了群論的創立，從而對稱性得到全面系統的研究；歐幾裡得第五公設不可證明直接導致了非歐幾何和黎曼幾何的創建。從非歐幾何的觀點來看，歐幾裡得幾何只不過是屬於空間曲率等於零的幾何。物理上，普朗克（Max Planck ）對能量連續性的否定，導致了量子論的產生和對光電效應的詮釋。物體運動速度不可能超越光速，導致了相對論的創立。海森堡測不准原理的確立，成為量子力學屹立不倒的定海神針。 用質樸的語言，哥德爾不完備定理在某種意義是說，若局限在自洽系統內部，就不可能完全認識該系統。為了直觀理解，可以想像，你若僅趟佯於森林之中，永遠不可能認識森林全貌；你若蝸居大山而不出走，你不會認識山的局限。只有走出了森林的邊界，才能看到森林的整體結構，只有翻過大山，才能俯瞰大山全貌。你走出了小森林，又會進入更大的森林；你翻過此山，又會進入更大群山。在較大較新的環境裡，你又陷入相似的困境。「山外青山樓外樓」，於是你一次又一次地陷入「不識廬山真面目，只緣身在此山中」的迷茫境界。這裡的教益是，禁錮於有限時空中的人不可能判定自我認知的完備性，猶如人不可能抓著自已的頭髮離開地球。 哥德爾不完備性定斷言：在含有算術公理的系統中，完備性和自洽性不可兼得。與此相應，在量子力學中海森堡測不准原理斷言，量子位置的測量精確度和動量的測量精確度是相互排斥的。完備性究竟蘊藏在何處？合理的答案是，理論系統的完備性可能存在於拓展了的深層次理論中。在拓展了的深層結構中，原本的系統可以被完備化。但是，這個深層次系統又會處於新的不完備的困境中，需要更高的智慧在更深層次上把理論結構拓展，再次完備化。這樣完備化的過程原則上是無止盡的，從而構成一完備化的可數無窮序列。這個無窮序列的收斂極限處，必然是超乎數學、物理範疇，超越塵世的超級智慧 一 這是上帝的存在。這裡的推論並不突然，也不新鮮，早在哥德爾不完備定理髮表之初，大數學家兼理論物理學家外爾（Hermann Weyl，1885~1955）就深切感嘆：「上帝是存在的，因為數學無疑是相容的；魔鬼也是存在的，因為我們不能證明相容性。」王浩在其回憶錄中則清晣提到，哥德爾本人宣稱，若接受他列出的五條公理，上帝存在的推論嚴密無瑕。於是我們又一次聽到了一個熟悉的聲音：科學的盡頭是神學。 1930年，希爾伯特以數學界掌舵人的身份，就他提出的23個問題，特別是整體公理構建計劃向世界豪邁宣布：「任何一個數學命題都是可以證明的」，「我們必須做到，我們必將做到」。後一句名言後來作為希爾伯特的墓誌銘廣傳於世。有趣的是，就在1930當年，初出茅廬的哥德爾在一個小範圍內報告了他的不完備定理，希爾伯特的高徒馮．諾意曼（John von Neumann，1903~1957）在場，問了哥德爾幾個問題。希爾伯特從馮．諾意曼得知哥德爾工作後，惱火且沮喪，但尚抱一線希望。哥德爾發表了他的第二不完備定理後，希爾伯特認識到他的宏偉計劃已徹底毀滅了。1943年希爾伯特臨終前的話是，「數學完了」。 數學當然沒有完，數學之樹常青。近一個世紀來數學依然蓬勃成長，只是不再致力於構建不可能構建的終結大廈。值得一提是，希爾伯雄心勃勃的計劃尚包括對物理學全部定律的公理化，這就是希爾伯特第六問題。這是更加不可能實現的願望。物理界一直對此持冷淡態度。二十世紀美國最有影響力的理論物理學家諾貝爾物理學獎獲得者費曼（Richard Feynman）坦言，在物理學中追求所謂嚴格既是不必要，也不現實的。顯然，根據哥德爾不完備定理，希爾伯特第六問題更是一個不可實現的美好夢想。 哥德爾不完備定理最深遠的啟示乃是，在科學的探索中，我們所在的這個世界可以被逐漸認識，然而這個世界永遠不可能完全徹底地被認識，終結真理可望而不可及。在創世主和茫茫宇宙面前，有限的世人當心存敬畏，感悟渺小。 寫於Solon，11/04/2022稿
11/14/2022改 【後記】 壬寅中秋，茶餘飯後，偶及哥德爾不完備定理。蕭瑾興趣盎然，赴寒舍認真詢問、詳做文字記錄，並令擇文簡介。 文革十年，本人下放窮村僻壤近八載。煤油燈下為求心靈平靜，自學實變函數論，需補充集合、點集拓撲，數理邏輯僅及皮毛。在蕭瑾催促下近日整理粗淺認識，草成拙文。 蕭瑾自幼受母親影響，酷愛數學，靈動敏捷，當年保送至北京大學。此文權當還她文債。 謹識 11/14/2022 ➤ 首頁｜目錄