科学的归宿 ──
哥德尔不完备定理的启示
希尔伯特第2数学问题
19世纪末丶20世纪初的数学家们普遍持有一强烈信念：数学应该是完全公理化的逻辑系统，其结构是先定义一批公理和基本逻辑规则，然后依据这些公理和逻辑规则推演出数学所有的命题定理。这一时期，无穷小分析中的概念和逻辑缺陷愈加明显，数学基础亟待完善，这又进一步强化了数学公理化的信念和追求。
1900年数学界的领袖人物希尔伯特（David Hilbert，1862~1943）在第二届国际数学家大会上作题为《数学问题》的历史性演讲，提出了23个他认为最重要的数学问题。时至今日这23个问题仍然指引着数学研究方向，对数学进程产生深远的影响。 23个问题的第2个问题是：建立一个全面统一坚实的数学公理系统，由此构建整体数学大厦。满怀乐观情绪的数学家响应号召，为构建这个元数学基础呕心呖血之际，1930年，华尔兹园舞曲故乡维也纳24岁的数理逻辑学家哥德尔（Kirt Godel，1906~1978）提出并证明了如下定理（1931年正式发表）：
「一个数学公理系统，只要包含自然数的初等算术公理，则不能判定这个系统的完备性。」
该定理石破天惊，让希尔伯特构造整体数学大厦基础的宏伟蓝图顷刻间灰飞烟灭。思想界随之起舞，科学丶哲学和人工智能等领域激起深入广泛的思考和炽烈持久的讨论。纵观历史，从未有过一𠆤数学定理的提出和证明象哥德尔定理，在思想界激起如此波澜壮阔的海哮。
思想界的奠基性贡献
由于其划时代的贡献，哥德尔被誉为自亚里士多德2500年以来最伟大的思想家之一。1951年2月，哥德尔卧病在床，氢弹之父奥本海默（Robert Oppenheimer，1904~1967）告诉临床医生：「你的病人是亚里士多德以来最大的逻辑学家。」1978年，声名显吓的物理学家惠勒（John Wheeler，1911~2010）则声称：「如果仅称他为亚里士多德以来最伟大的逻辑学家，是在贬低他」。
科学界公认，哥德尔在数理逻辑中的地位相当于爱因斯坦在物理学家中的地位。爱因斯坦（Albert Einstein，1879~1955）从1942年到1955年去世，在普林斯顿与哥德尔交往密切，两人相互仰慕，常在一起散步谈心。爱因斯坦认为哥德尔的工作对数学，与他本人对物理学的工作，有同等的重要性。
哥德尔不完备定理的影响远远超出数理逻辑范围。它不仅使数学丶逻辑学发生革命性的变化，引发了许多富有挑战性的问题，同时涉及哲学丶语言学和计算机科学，以及近代理论物理。霍金（Stephen Hawking，1942~2018）在题为《哥德尔与M理论》的报告中，认为不可能建立一个描述宇宙的大统一理论，其判断正是基于哥德尔不完备定理。美国《时代》杂志曾评选出20世纪100个最伟大的人物，在数学家行列中排在第一位的就是哥德尔。
对于哥德尔不完备定理的意义，世人认知不一，解释亦不尽相同。然而有一共识：哥德尔不完备定理是20世纪思想界奠基性的贡献。哥德尔不完备定理可以比肩爱因斯坦的相对论，普朗克（Max Planck，1858~1947）的量子论，海森堡（W. Heisenberg，1901~1976）的测不准原理，以及DNA的双螺旋结构。
哥德尔不完备定理的简单陈述
哥德尔定理的完全严格证明基于现代集合论丶数论以及他首创的哥德尔数和运算法，其证明涉及巧妙的构思和冗长的逻辑演译。证明过程中哥德尔明确揭示」命题为真」和」命题可证」是两个不同层次的概念。
数学定理证明基于一组不证自明的公理系统和逻辑法则，人们曾理所当然地期望数学公理系统满足以下条件：
《不存在一个普适的公理系统，它既能够证明所有数学定理，又能证伪任何谬误。》 哥德尔第二不完备定理进一步指出：
《任何蕴涵初等算术公理的自洽形式系统，不能证明自身的自洽性。》 哥德尔第一和第二不完备定理的联合陈述是：
《任何蕴涵初等算术公理的自洽形式系统是不完备的，也不能在其中证明自身的自洽性。》 由于蕰涵了初等（皮雅诺）算术公理，递帰定义（数学归纳法）进入形式系统。
哥德尔的知音和密友丶着名旅美逻辑学家王浩指出，下面关于哥德尔不完备定理的几个陈述相互等价：
「本公司没一个人讲的话是真的。」
则该雇员的「宣称」究竟是「真」亦或为「伪」，就成为一不可判定的陈述。用概率论的语言，该雇员阵述为「真」和「伪」的几率分别是50％和50％，易见不完备性可以导致概率性的结论。 量子力学的哥木哈根解释及其海森堡测不准原理把自身，即「观察者」引进了量子测量系统。外部的观察者和内部被观察的量子系统合而为一，观察者既是观众，又是演员，量子测量遂成为在包含了测量者自身的客体中进行测量，自我干扰的测量必导致量子系统判定的不完备和不可避免的概率描述。用平白的语言表述测不准原理当为：在一被测量行为自身乾扰的系统中进行测量必然导致测量的不确定性的描述，即几率性描述。容易看到，量子测量的不确定性，对应着哥德尔不完备定理的陈述。这让我们相信，两者之间有微妙的联络。这也很可能就是为什麽爱因斯坦一生中强烈质疑量子力学描述的完备性，认为哥本哈根学派的量子诠释是绥靖哲学。 什麽是数学？此问不易回答。各派有各的定义，不同时期有不同的观点。有人说，数学就是一连串的证明的总和。哥德尔在阐述不不完备定理证明时深刻地指出：「从形式的角度看，证明它除了是一个公式（带有某些特指的性质）的有限系列之外，什麽都不是。而从元数学的目的来看，证明则天然地就是非物质的，这些天然的非物质，是那些作为基本符号对象的东西，我们用自然数来代表这些非物质的符号。因此，一个公式就是自然数的一个有限系列，一个特指的证明模式就是一个自然数有限系列的有限系列。元数学的概念和命题因此也就成为有关自然数或者它们的系列的概念和命题，并且，由此就至少在系统PM本身的符号中，它们是部分可表达的。」这里人们可以领悟到数论是数学之王和万物皆数的思想。也有人调侃：所谓数学，就是一群喜欢抽象的人把他们思考的对象和问题称之为数学。不管关于数学的定义如何五花八门，哥德尔定理问世后，有一点明确无疑，数学绝对不等于逻辑。时至今日，数学的内涵仍在扩张，新的观念和想法源源涌现，各个分枝领域相互渗透。创新的理念总是超越逻辑，不论是作为前提的公理，还是在特定前提下的逻辑推理，均有先验的理念蕴含其中。数学灵动活泼，其活力源于直觉丶联想丶综合丶类比和各种奇思妙想。敏锐的洞察力和新颖的构思才是数学活的灵魂。逻辑则是单调丶僵硬的，是演译过程必遵循的一组规则。 数学是科学的先导和拐杖，近代科学发端于对自然描述的数学化，严格科学，特别是物理学，其判定总是数学化的表述。数学基础的不完备必导致科学结论的不完备。科学结论的不完备性就其实质而言具有特别重大的科学意义。结论的不完备性意味着否定性结论存在。否定性的判定具有突破性。科学史上不乏其例，譬如五次以上代数方程无一般根式解的发现导致了群论的创立，从而对称性得到全面系统的研究；欧几里得第五公设不可证明直接导致了非欧几何和黎曼几何的创建。从非欧几何的观点来看，欧几里得几何只不过是属于空间曲率等于零的几何。物理上，普朗克（Max Planck ）对能量连续性的否定，导致了量子论的产生和对光电效应的诠释。物体运动速度不可能超越光速，导致了相对论的创立。海森堡测不准原理的确立，成为量子力学屹立不倒的定海神针。 用质朴的语言，哥德尔不完备定理在某种意义是说，若局限在自洽系统内部，就不可能完全认识该系统。为了直观理解，可以想像，你若仅趟佯于森林之中，永远不可能认识森林全貌；你若蜗居大山而不出走，你不会认识山的局限。只有走出了森林的边界，才能看到森林的整体结构，只有翻过大山，才能俯瞰大山全貌。你走出了小森林，又会进入更大的森林；你翻过此山，又会进入更大群山。在较大较新的环境里，你又陷入相似的困境。「山外青山楼外楼」，于是你一次又一次地陷入「不识庐山真面目，只缘身在此山中」的迷茫境界。这里的教益是，禁锢于有限时空中的人不可能判定自我认知的完备性，犹如人不可能抓着自已的头发离开地球。 哥德尔不完备性定断言：在含有算术公理的系统中，完备性和自洽性不可兼得。与此相应，在量子力学中海森堡测不准原理断言，量子位置的测量精确度和动量的测量精确度是相互排斥的。完备性究竟蕴藏在何处？合理的答案是，理论系统的完备性可能存在于拓展了的深层次理论中。在拓展了的深层结构中，原本的系统可以被完备化。但是，这个深层次系统又会处于新的不完备的困境中，需要更高的智慧在更深层次上把理论结构拓展，再次完备化。这样完备化的过程原则上是无止尽的，从而构成一完备化的可数无穷序列。这个无穷序列的收敛极限处，必然是超乎数学丶物理范畴，超越尘世的超级智慧 一 这是上帝的存在。这里的推论并不突然，也不新鲜，早在哥德尔不完备定理发表之初，大数学家兼理论物理学家外尔（Hermann Weyl，1885~1955）就深切感叹：「上帝是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的，因为我们不能证明相容性。」王浩在其回忆录中则清晣提到，哥德尔本人宣称，若接受他列出的五条公理，上帝存在的推论严密无瑕。于是我们又一次听到了一个熟悉的声音：科学的尽头是神学。 1930年，希尔伯特以数学界掌舵人的身份，就他提出的23个问题，特别是整体公理构建计划向世界豪迈宣布：「任何一个数学命题都是可以证明的」，「我们必须做到，我们必将做到」。后一句名言后来作为希尔伯特的墓志铭广传于世。有趣的是，就在1930当年，初出茅庐的哥德尔在一个小范围内报告了他的不完备定理，希尔伯特的高徒冯．诺意曼（John von Neumann，1903~1957）在场，问了哥德尔几个问题。希尔伯特从冯．诺意曼得知哥德尔工作后，恼火且沮丧，但尚抱一线希望。哥德尔发表了他的第二不完备定理后，希尔伯特认识到他的宏伟计划已彻底毁灭了。1943年希尔伯特临终前的话是，「数学完了」。 数学当然没有完，数学之树常青。近一个世纪来数学依然蓬勃成长，只是不再致力于构建不可能构建的终结大厦。值得一提是，希尔伯雄心勃勃的计划尚包括对物理学全部定律的公理化，这就是希尔伯特第六问题。这是更加不可能实现的愿望。物理界一直对此持冷淡态度。二十世纪美国最有影响力的理论物理学家诺贝尔物理学奖获得者费曼（Richard Feynman）坦言，在物理学中追求所谓严格既是不必要，也不现实的。显然，根据哥德尔不完备定理，希尔伯特第六问题更是一个不可实现的美好梦想。 哥德尔不完备定理最深远的启示乃是，在科学的探索中，我们所在的这个世界可以被逐渐认识，然而这个世界永远不可能完全彻底地被认识，终结真理可望而不可及。在创世主和茫茫宇宙面前，有限的世人当心存敬畏，感悟淼小。 写于Solon，11/04/2022稿
11/14/2022改 【后记】 壬寅中秋，茶馀饭后，偶及哥德尔不完备定理。萧瑾兴趣盎然，赴寒舍认真询问丶详做文字记录，并令择文简介。 文革十年，本人下放穷村僻壤近八载。煤油灯下为求心灵平静，自学实变函数论，需补充集合丶点集拓扑，数理逻辑仅及皮毛。在萧瑾催促下近日整理粗浅认识，草成拙文。 萧瑾自幼受母亲影响，酷爱数学，灵动敏捷，当年保送至北京大学。此文权当还她文债。 谨识 11/14/2022 ➤ 首页｜目录
哥德尔不完备定理的启示
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- 系统公理是独立的，即任何一公理不能从其它公理导出
- 系统公理互是自洽（相容）的，即公理互不冲突。
- 系统公理是完备的，即系统中每个命题或其否定命题中至少有一方在其中可被证明的。
《不存在一个普适的公理系统，它既能够证明所有数学定理，又能证伪任何谬误。》 哥德尔第二不完备定理进一步指出：
《任何蕴涵初等算术公理的自洽形式系统，不能证明自身的自洽性。》 哥德尔第一和第二不完备定理的联合陈述是：
《任何蕴涵初等算术公理的自洽形式系统是不完备的，也不能在其中证明自身的自洽性。》 由于蕰涵了初等（皮雅诺）算术公理，递帰定义（数学归纳法）进入形式系统。
哥德尔的知音和密友丶着名旅美逻辑学家王浩指出，下面关于哥德尔不完备定理的几个陈述相互等价：
- 数学是不可穷尽的。
- 每个自洽的形式数学理论一定包含不可判定的命题。
- 没有证明机器（或程序）能够只证明全部真的数学命题。
- 不存在既自洽又完备的形式数学公理系统。
- 数学算法不可穷尽的。
「本公司没一个人讲的话是真的。」
则该雇员的「宣称」究竟是「真」亦或为「伪」，就成为一不可判定的陈述。用概率论的语言，该雇员阵述为「真」和「伪」的几率分别是50％和50％，易见不完备性可以导致概率性的结论。 量子力学的哥木哈根解释及其海森堡测不准原理把自身，即「观察者」引进了量子测量系统。外部的观察者和内部被观察的量子系统合而为一，观察者既是观众，又是演员，量子测量遂成为在包含了测量者自身的客体中进行测量，自我干扰的测量必导致量子系统判定的不完备和不可避免的概率描述。用平白的语言表述测不准原理当为：在一被测量行为自身乾扰的系统中进行测量必然导致测量的不确定性的描述，即几率性描述。容易看到，量子测量的不确定性，对应着哥德尔不完备定理的陈述。这让我们相信，两者之间有微妙的联络。这也很可能就是为什麽爱因斯坦一生中强烈质疑量子力学描述的完备性，认为哥本哈根学派的量子诠释是绥靖哲学。 什麽是数学？此问不易回答。各派有各的定义，不同时期有不同的观点。有人说，数学就是一连串的证明的总和。哥德尔在阐述不不完备定理证明时深刻地指出：「从形式的角度看，证明它除了是一个公式（带有某些特指的性质）的有限系列之外，什麽都不是。而从元数学的目的来看，证明则天然地就是非物质的，这些天然的非物质，是那些作为基本符号对象的东西，我们用自然数来代表这些非物质的符号。因此，一个公式就是自然数的一个有限系列，一个特指的证明模式就是一个自然数有限系列的有限系列。元数学的概念和命题因此也就成为有关自然数或者它们的系列的概念和命题，并且，由此就至少在系统PM本身的符号中，它们是部分可表达的。」这里人们可以领悟到数论是数学之王和万物皆数的思想。也有人调侃：所谓数学，就是一群喜欢抽象的人把他们思考的对象和问题称之为数学。不管关于数学的定义如何五花八门，哥德尔定理问世后，有一点明确无疑，数学绝对不等于逻辑。时至今日，数学的内涵仍在扩张，新的观念和想法源源涌现，各个分枝领域相互渗透。创新的理念总是超越逻辑，不论是作为前提的公理，还是在特定前提下的逻辑推理，均有先验的理念蕴含其中。数学灵动活泼，其活力源于直觉丶联想丶综合丶类比和各种奇思妙想。敏锐的洞察力和新颖的构思才是数学活的灵魂。逻辑则是单调丶僵硬的，是演译过程必遵循的一组规则。 数学是科学的先导和拐杖，近代科学发端于对自然描述的数学化，严格科学，特别是物理学，其判定总是数学化的表述。数学基础的不完备必导致科学结论的不完备。科学结论的不完备性就其实质而言具有特别重大的科学意义。结论的不完备性意味着否定性结论存在。否定性的判定具有突破性。科学史上不乏其例，譬如五次以上代数方程无一般根式解的发现导致了群论的创立，从而对称性得到全面系统的研究；欧几里得第五公设不可证明直接导致了非欧几何和黎曼几何的创建。从非欧几何的观点来看，欧几里得几何只不过是属于空间曲率等于零的几何。物理上，普朗克（Max Planck ）对能量连续性的否定，导致了量子论的产生和对光电效应的诠释。物体运动速度不可能超越光速，导致了相对论的创立。海森堡测不准原理的确立，成为量子力学屹立不倒的定海神针。 用质朴的语言，哥德尔不完备定理在某种意义是说，若局限在自洽系统内部，就不可能完全认识该系统。为了直观理解，可以想像，你若仅趟佯于森林之中，永远不可能认识森林全貌；你若蜗居大山而不出走，你不会认识山的局限。只有走出了森林的边界，才能看到森林的整体结构，只有翻过大山，才能俯瞰大山全貌。你走出了小森林，又会进入更大的森林；你翻过此山，又会进入更大群山。在较大较新的环境里，你又陷入相似的困境。「山外青山楼外楼」，于是你一次又一次地陷入「不识庐山真面目，只缘身在此山中」的迷茫境界。这里的教益是，禁锢于有限时空中的人不可能判定自我认知的完备性，犹如人不可能抓着自已的头发离开地球。 哥德尔不完备性定断言：在含有算术公理的系统中，完备性和自洽性不可兼得。与此相应，在量子力学中海森堡测不准原理断言，量子位置的测量精确度和动量的测量精确度是相互排斥的。完备性究竟蕴藏在何处？合理的答案是，理论系统的完备性可能存在于拓展了的深层次理论中。在拓展了的深层结构中，原本的系统可以被完备化。但是，这个深层次系统又会处于新的不完备的困境中，需要更高的智慧在更深层次上把理论结构拓展，再次完备化。这样完备化的过程原则上是无止尽的，从而构成一完备化的可数无穷序列。这个无穷序列的收敛极限处，必然是超乎数学丶物理范畴，超越尘世的超级智慧 一 这是上帝的存在。这里的推论并不突然，也不新鲜，早在哥德尔不完备定理发表之初，大数学家兼理论物理学家外尔（Hermann Weyl，1885~1955）就深切感叹：「上帝是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的，因为我们不能证明相容性。」王浩在其回忆录中则清晣提到，哥德尔本人宣称，若接受他列出的五条公理，上帝存在的推论严密无瑕。于是我们又一次听到了一个熟悉的声音：科学的尽头是神学。 1930年，希尔伯特以数学界掌舵人的身份，就他提出的23个问题，特别是整体公理构建计划向世界豪迈宣布：「任何一个数学命题都是可以证明的」，「我们必须做到，我们必将做到」。后一句名言后来作为希尔伯特的墓志铭广传于世。有趣的是，就在1930当年，初出茅庐的哥德尔在一个小范围内报告了他的不完备定理，希尔伯特的高徒冯．诺意曼（John von Neumann，1903~1957）在场，问了哥德尔几个问题。希尔伯特从冯．诺意曼得知哥德尔工作后，恼火且沮丧，但尚抱一线希望。哥德尔发表了他的第二不完备定理后，希尔伯特认识到他的宏伟计划已彻底毁灭了。1943年希尔伯特临终前的话是，「数学完了」。 数学当然没有完，数学之树常青。近一个世纪来数学依然蓬勃成长，只是不再致力于构建不可能构建的终结大厦。值得一提是，希尔伯雄心勃勃的计划尚包括对物理学全部定律的公理化，这就是希尔伯特第六问题。这是更加不可能实现的愿望。物理界一直对此持冷淡态度。二十世纪美国最有影响力的理论物理学家诺贝尔物理学奖获得者费曼（Richard Feynman）坦言，在物理学中追求所谓严格既是不必要，也不现实的。显然，根据哥德尔不完备定理，希尔伯特第六问题更是一个不可实现的美好梦想。 哥德尔不完备定理最深远的启示乃是，在科学的探索中，我们所在的这个世界可以被逐渐认识，然而这个世界永远不可能完全彻底地被认识，终结真理可望而不可及。在创世主和茫茫宇宙面前，有限的世人当心存敬畏，感悟淼小。 写于Solon，11/04/2022稿
11/14/2022改 【后记】 壬寅中秋，茶馀饭后，偶及哥德尔不完备定理。萧瑾兴趣盎然，赴寒舍认真询问丶详做文字记录，并令择文简介。 文革十年，本人下放穷村僻壤近八载。煤油灯下为求心灵平静，自学实变函数论，需补充集合丶点集拓扑，数理逻辑仅及皮毛。在萧瑾催促下近日整理粗浅认识，草成拙文。 萧瑾自幼受母亲影响，酷爱数学，灵动敏捷，当年保送至北京大学。此文权当还她文债。 谨识 11/14/2022 ➤ 首页｜目录